99年私立淡江大學資管所離散數學

所謂數學結構或數學系統(mathematical structure or system)是由一些元素(objects)、定義在這些元素上的運算(operations)和伴隨而來的特性(properties)所構成。假設S = (1 × 2的矩陣, ？)是一個數學結構，其中，1 × 2的矩陣是這個數學結構所要探討的元素，運算？的意義為[x, y] ？ [w, z] = [x + w, (y + z)/2]，試問這一個數學結構是否滿足下列的特性?

1.

封閉性(closure)

所謂數學結構或數學系統(mathematical structure or system)是由一些元素(objects)、定義在這些元素上的運算(operations)和伴隨而來的特性(properties)所構成。假設S = (1 × 2的矩陣, ？)是一個數學結構，其中，1 × 2的矩陣是這個數學結構所要探討的元素，運算？的意義為[x, y] ？ [w, z] = [x + w, (y + z)/2]，試問這一個數學結構是否滿足下列的特性?

2.

交換性(commutative)

所謂數學結構或數學系統(mathematical structure or system)是由一些元素(objects)、定義在這些元素上的運算(operations)和伴隨而來的特性(properties)所構成。假設S = (1 × 2的矩陣, ？)是一個數學結構，其中，1 × 2的矩陣是這個數學結構所要探討的元素，運算？的意義為[x, y] ？ [w, z] = [x + w, (y + z)/2]，試問這一個數學結構是否滿足下列的特性?

3.

結合性(associative)

所謂數學結構或數學系統(mathematical structure or system)是由一些元素(objects)、定義在這些元素上的運算(operations)和伴隨而來的特性(properties)所構成。假設S = (1 × 2的矩陣, ？)是一個數學結構，其中，1 × 2的矩陣是這個數學結構所要探討的元素，運算？的意義為[x, y] ？ [w, z] = [x + w, (y + z)/2]，試問這一個數學結構是否滿足下列的特性?

4.

有單位元素存在

所謂數學結構或數學系統(mathematical structure or system)是由一些元素(objects)、定義在這些元素上的運算(operations)和伴隨而來的特性(properties)所構成。假設S = (1 × 2的矩陣, ？)是一個數學結構，其中，1 × 2的矩陣是這個數學結構所要探討的元素，運算？的意義為[x, y] ？ [w, z] = [x + w, (y + z)/2]，試問這一個數學結構是否滿足下列的特性?

5.

每一個元素都有反元素

6.

試說明如果p ⇒ q不成立, 是否可以推論到下列的敘述是否成立?
    (a) ~(p ∧ q) ⇒ q (b) ~(p) ∨ (p ⇔ q)
其中, ⇒代表if then, ~代表NOT, ∧代表AND, ∨代表OR, ⇔代表if only if

7.

在一個8 × 8的矩陣中分別填入數字, 如果它們的總和是92, 試證明至少有某一行和某一列的所有數字相加會大於24

8.

何謂Euler path? 何謂Euler circuit? 請問在下圖中, 有那些邊(edge)要走兩次,才能找到一個Euler path, 有那些邊要走兩次, 才能找到一個Euler circuit? 為什麼?請畫出它們的路徑

9.

9個紅氣球和6個藍氣球要分給4個孩子, 如果每個孩子都至少要有一個紅色和藍色的氣球, 試問有多少種不同的分配方式?

假設f(x, y) = (2x − y, x − 2y), 其中(x, y) ∈ R × R

10.

試證明f是一對一(one-to-one)函數

假設f(x, y) = (2x − y, x − 2y), 其中(x, y) ∈ R × R

11.

試求出反函數f⁻¹